Lutasin ang {l}{12y+20x=112}{12x+20y=144}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 12 y + 20 x = 112 } \\ { 12 x + 20 y = 144 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=2$$

$$y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$12y+20x=112$$

I-subtract ang 20x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$12y=-20x+112$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 12.

$$y=\frac{1}{12}\left(-20x+112\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{12} times -20x+112.

$$y=-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}$$

I-substitute ang \frac{-5x+28}{3} para sa y sa kabilang equation na 20y+12x=144.

$$20\left(-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}\right)+12x=144$$

I-multiply ang 20 times \frac{-5x+28}{3}.

$$-\frac{100}{3}x+\frac{560}{3}+12x=144$$

Idagdag ang -\frac{100x}{3} sa 12x.

$$-\frac{64}{3}x+\frac{560}{3}=144$$

I-subtract ang \frac{560}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{64}{3}x=-\frac{128}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{64}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa y=-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{5}{3}\times 2+\frac{28}{3}$$

I-multiply ang -\frac{5}{3} times 2.

$$y=\frac{-10+28}{3}$$

Idagdag ang \frac{28}{3} sa -\frac{10}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=6$$

Nalutas na ang system.

$$y=6,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12\times 12-20\times 20}&-\frac{20}{12\times 12-20\times 20}\\-\frac{20}{12\times 12-20\times 20}&\frac{12}{12\times 12-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{64}&\frac{5}{64}\\\frac{5}{64}&-\frac{3}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{64}\times 112+\frac{5}{64}\times 144\\\frac{5}{64}\times 112-\frac{3}{64}\times 144\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=6,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

Para gawing magkatumbas ang 12y at 20y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 20 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 12.

$$20\times 12y+20\times 20x=20\times 112,12\times 20y+12\times 12x=12\times 144$$

Pasimplehin.

$$240y+400x=2240,240y+144x=1728$$

I-subtract ang 240y+144x=1728 mula sa 240y+400x=2240 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$240y-240y+400x-144x=2240-1728$$

Idagdag ang 240y sa -240y. Naka-cancel out ang term na 240y at -240y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$400x-144x=2240-1728$$

Idagdag ang 400x sa -144x.

$$256x=2240-1728$$

Idagdag ang 2240 sa -1728.

$$256x=512$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 256.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa 20y+12x=144. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$20y+12\times 2=144$$

I-multiply ang 12 times 2.

$$20y+24=144$$

I-subtract ang 24 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$20y=120$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 20.

$$y=6$$

Nalutas na ang system.

$$y=6,x=2$$