Lutasin ang {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$11x+19y=25$$

I-subtract ang 19y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$11x=-19y+25$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{11} times -19y+25.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

I-substitute ang \frac{-19y+25}{11} para sa x sa kabilang equation na 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

I-multiply ang 19 times \frac{-19y+25}{11}.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

Idagdag ang -\frac{361y}{11} sa 11y.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

I-subtract ang \frac{475}{11} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{240}{11}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{31}{24}$$

I-substitute ang \frac{31}{24} para sa y sa x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

I-multiply ang -\frac{19}{11} times \frac{31}{24} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

Idagdag ang \frac{25}{11} sa -\frac{589}{264} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{1}{24}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Para gawing magkatumbas ang 11x at 19x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 19 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 11.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

Pasimplehin.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

I-subtract ang 209x+121y=165 mula sa 209x+361y=475 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

Idagdag ang 209x sa -209x. Naka-cancel out ang term na 209x at -209x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$361y-121y=475-165$$

Idagdag ang 361y sa -121y.

$$240y=475-165$$

Idagdag ang 475 sa -165.

$$240y=310$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 240.

$$y=\frac{31}{24}$$

I-substitute ang \frac{31}{24} para sa y sa 19x+11y=15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

I-multiply ang 11 times \frac{31}{24}.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

I-subtract ang \frac{341}{24} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$19x=\frac{19}{24}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 19.

$$x=\frac{1}{24}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$