Lutasin ang {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6y mula sa magkabilang dulo.

$$10x+y-6y=5$$

Pagsamahin ang y at -6y para makuha ang -5y.

$$10x-5y=5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 10x mula sa magkabilang dulo.

$$10y+x-10x=y+27$$

Pagsamahin ang x at -10x para makuha ang -9x.

$$10y-9x=y+27$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$10y-9x-y=27$$

Pagsamahin ang 10y at -y para makuha ang 9y.

$$9y-9x=27$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10x-5y=5$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=5y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times 5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{1+y}{2} para sa x sa kabilang equation na -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

I-multiply ang -9 times \frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

Idagdag ang -\frac{9y}{2} sa 9y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Idagdag ang \frac{9}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{9}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{7}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6y mula sa magkabilang dulo.

$$10x+y-6y=5$$

Pagsamahin ang y at -6y para makuha ang -5y.

$$10x-5y=5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 10x mula sa magkabilang dulo.

$$10y+x-10x=y+27$$

Pagsamahin ang x at -10x para makuha ang -9x.

$$10y-9x=y+27$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$10y-9x-y=27$$

Pagsamahin ang 10y at -y para makuha ang 9y.

$$9y-9x=27$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6y mula sa magkabilang dulo.

$$10x+y-6y=5$$

Pagsamahin ang y at -6y para makuha ang -5y.

$$10x-5y=5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 10x mula sa magkabilang dulo.

$$10y+x-10x=y+27$$

Pagsamahin ang x at -10x para makuha ang -9x.

$$10y-9x=y+27$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo.

$$10y-9x-y=27$$

Pagsamahin ang 10y at -y para makuha ang 9y.

$$9y-9x=27$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Para gawing magkatumbas ang 10x at -9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 10.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

Pasimplehin.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

I-subtract ang -90x+90y=270 mula sa -90x+45y=-45 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

Idagdag ang -90x sa 90x. Naka-cancel out ang term na -90x at 90x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$45y-90y=-45-270$$

Idagdag ang 45y sa -90y.

$$-45y=-45-270$$

Idagdag ang -45 sa -270.

$$-45y=-315$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -45.

$$y=7$$

I-substitute ang 7 para sa y sa -9x+9y=27. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-9x+9\times 7=27$$

I-multiply ang 9 times 7.

$$-9x+63=27$$

I-subtract ang 63 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-9x=-36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -9.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=7$$