Lutasin ang {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=10$$

$$y=14$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10x+5y=170$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=-5y+170$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times -5y+170.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}+17 para sa x sa kabilang equation na 6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

I-multiply ang 6 times -\frac{y}{2}+17.

$$-3y+102+10y=200$$

Idagdag ang -3y sa 10y.

$$7y+102=200$$

I-subtract ang 102 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7y=98$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$y=14$$

I-substitute ang 14 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+17. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 14.

$$x=-7+17$$

Idagdag ang 17 sa -7.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=14$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=10,y=14$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

Para gawing magkatumbas ang 10x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 10.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

Pasimplehin.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

I-subtract ang 60x+100y=2000 mula sa 60x+30y=1020 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

Idagdag ang 60x sa -60x. Naka-cancel out ang term na 60x at -60x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$30y-100y=1020-2000$$

Idagdag ang 30y sa -100y.

$$-70y=1020-2000$$

Idagdag ang 1020 sa -2000.

$$-70y=-980$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -70.

$$y=14$$

I-substitute ang 14 para sa y sa 6x+10y=200. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x+10\times 14=200$$

I-multiply ang 10 times 14.

$$6x+140=200$$

I-subtract ang 140 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=60$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=14$$