Lutasin ang {l}{10x+25y=600}{15x+30y=750}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 25 y = 600 } \\ { 15 x + 30 y = 750 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10x+25y=600$$

I-subtract ang 25y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=-25y+600$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-25y+600\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times -25y+600.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

I-substitute ang -\frac{5y}{2}+60 para sa x sa kabilang equation na 15x+30y=750.

$$15\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+30y=750$$

I-multiply ang 15 times -\frac{5y}{2}+60.

$$-\frac{75}{2}y+900+30y=750$$

Idagdag ang -\frac{75y}{2} sa 30y.

$$-\frac{15}{2}y+900=750$$

I-subtract ang 900 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{15}{2}y=-150$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{15}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=20$$

I-substitute ang 20 para sa y sa x=-\frac{5}{2}y+60. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{5}{2}\times 20+60$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times 20.

$$x=-50+60$$

Idagdag ang 60 sa -50.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=20$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{10\times 30-25\times 15}&-\frac{25}{10\times 30-25\times 15}\\-\frac{15}{10\times 30-25\times 15}&\frac{10}{10\times 30-25\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 600+\frac{1}{3}\times 750\\\frac{1}{5}\times 600-\frac{2}{15}\times 750\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=10,y=20$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

Para gawing magkatumbas ang 10x at 15x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 15 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 10.

$$15\times 10x+15\times 25y=15\times 600,10\times 15x+10\times 30y=10\times 750$$

Pasimplehin.

$$150x+375y=9000,150x+300y=7500$$

I-subtract ang 150x+300y=7500 mula sa 150x+375y=9000 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$150x-150x+375y-300y=9000-7500$$

Idagdag ang 150x sa -150x. Naka-cancel out ang term na 150x at -150x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$375y-300y=9000-7500$$

Idagdag ang 375y sa -300y.

$$75y=9000-7500$$

Idagdag ang 9000 sa -7500.

$$75y=1500$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 75.

$$y=20$$

I-substitute ang 20 para sa y sa 15x+30y=750. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$15x+30\times 20=750$$

I-multiply ang 30 times 20.

$$15x+600=750$$

I-subtract ang 600 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$15x=150$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$x=10$$

Nalutas na ang system.

$$x=10,y=20$$