Lutasin ang {l}{10x+10y=9}{5x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 10 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$10x+10y=9$$

I-subtract ang 10y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$10x=-10y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{10} times -10y+9.

$$x=-y+\frac{9}{10}$$

I-substitute ang -y+\frac{9}{10} para sa x sa kabilang equation na 5x-2y=1.

$$5\left(-y+\frac{9}{10}\right)-2y=1$$

I-multiply ang 5 times -y+\frac{9}{10}.

$$-5y+\frac{9}{2}-2y=1$$

Idagdag ang -5y sa -2y.

$$-7y+\frac{9}{2}=1$$

I-subtract ang \frac{9}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7y=-\frac{7}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{1}{2} para sa y sa x=-y+\frac{9}{10}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{10}$$

Idagdag ang \frac{9}{10} sa -\frac{1}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{2}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-10\times 5}&-\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\\-\frac{5}{10\left(-2\right)-10\times 5}&\frac{10}{10\left(-2\right)-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{35}\times 9+\frac{1}{7}\\\frac{1}{14}\times 9-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$10x+10y=9,5x-2y=1$$

Para gawing magkatumbas ang 10x at 5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 10.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 9,10\times 5x+10\left(-2\right)y=10$$

Pasimplehin.

$$50x+50y=45,50x-20y=10$$

I-subtract ang 50x-20y=10 mula sa 50x+50y=45 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$50x-50x+50y+20y=45-10$$

Idagdag ang 50x sa -50x. Naka-cancel out ang term na 50x at -50x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$50y+20y=45-10$$

Idagdag ang 50y sa 20y.

$$70y=45-10$$

Idagdag ang 45 sa -10.

$$70y=35$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 70.

$$y=\frac{1}{2}$$

I-substitute ang \frac{1}{2} para sa y sa 5x-2y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$5x-2\times \frac{1}{2}=1$$

I-multiply ang -2 times \frac{1}{2}.

$$5x-1=1$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{2}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{2}{5},y=\frac{1}{2}$$