Lutasin ang {l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=20$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$1.5x-3.5y=-5$$

Idagdag ang \frac{7y}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$1.5x=3.5y-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1.5, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times \frac{7y}{2}-5.

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

I-substitute ang \frac{7y-10}{3} para sa x sa kabilang equation na -1.2x+2.5y=1.

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

I-multiply ang -1.2 times \frac{7y-10}{3}.

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

Idagdag ang -\frac{14y}{5} sa \frac{5y}{2}.

$$-0.3y+4=1$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-0.3y=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -0.3, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

I-multiply ang \frac{7}{3} times 10.

$$x=\frac{70-10}{3}$$

Idagdag ang -\frac{10}{3} sa \frac{70}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=20$$

Nalutas na ang system.

$$x=20,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=20,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{3x}{2} at -\frac{6x}{5}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1.2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.5.

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

Pasimplehin.

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

I-subtract ang -1.8x+3.75y=1.5 mula sa -1.8x+4.2y=6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

Idagdag ang -\frac{9x}{5} sa \frac{9x}{5}. Naka-cancel out ang term na -\frac{9x}{5} at \frac{9x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

Idagdag ang \frac{21y}{5} sa -\frac{15y}{4}.

$$0.45y=6-1.5$$

Idagdag ang 6 sa -1.5.

$$0.45y=4.5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 0.45, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa -1.2x+2.5y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

I-multiply ang 2.5 times 10.

$$-1.2x+25=1$$

I-subtract ang 25 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-1.2x=-24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.2, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=20$$

Nalutas na ang system.

$$x=20,y=10$$