Lutasin ang {l}{0.5x-0.8y+9=4}{x/3+y/5=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x - 0.8 y + 9 = 4 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=6$$

$$y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$0.5x-0.8y+9=4$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.5x-0.8y=-5$$

Idagdag ang \frac{4y}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.5x=0.8y-5$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=2\left(0.8y-5\right)$$

I-multiply ang 2 times \frac{4y}{5}-5.

$$x=1.6y-10$$

I-substitute ang \frac{8y}{5}-10 para sa x sa kabilang equation na \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4.

$$\frac{1}{3}\left(1.6y-10\right)+\frac{1}{5}y=4$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times \frac{8y}{5}-10.

$$\frac{8}{15}y-\frac{10}{3}+\frac{1}{5}y=4$$

Idagdag ang \frac{8y}{15} sa \frac{y}{5}.

$$\frac{11}{15}y-\frac{10}{3}=4$$

Idagdag ang \frac{10}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{11}{15}y=\frac{22}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{11}{15}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa x=1.6y-10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=1.6\times 10-10$$

I-multiply ang 1.6 times 10.

$$x=16-10$$

Idagdag ang -10 sa 16.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&-0.8\\\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&-\frac{-0.8}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}&\frac{0.5}{0.5\times \frac{1}{5}-\left(-0.8\times \frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{24}{11}\\-\frac{10}{11}&\frac{15}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\left(-5\right)+\frac{24}{11}\times 4\\-\frac{10}{11}\left(-5\right)+\frac{15}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=6,y=10$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$0.5x-0.8y+9=4,\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{x}{2} at \frac{x}{3}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{1}{3} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 0.5.

$$\frac{1}{3}\times 0.5x+\frac{1}{3}\left(-0.8\right)y+\frac{1}{3}\times 9=\frac{1}{3}\times 4,0.5\times \frac{1}{3}x+0.5\times \frac{1}{5}y=0.5\times 4$$

Pasimplehin.

$$\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2$$

I-subtract ang \frac{1}{6}x+\frac{1}{10}y=2 mula sa \frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y+3=\frac{4}{3} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Idagdag ang \frac{x}{6} sa -\frac{x}{6}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{6} at -\frac{x}{6} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{1}{10}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Idagdag ang -\frac{4y}{15} sa -\frac{y}{10}.

$$-\frac{11}{30}y+3=\frac{4}{3}-2$$

Idagdag ang \frac{4}{3} sa -2.

$$-\frac{11}{30}y+3=-\frac{2}{3}$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{11}{30}y=-\frac{11}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{11}{30}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=10$$

I-substitute ang 10 para sa y sa \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times 10=4$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 10.

$$\frac{1}{3}x+2=4$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{3}x=2$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=6$$

Nalutas na ang system.

$$x=6,y=10$$