Lutasin ang {l}{0.4x+0.3y=0.7}{11x-10y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 0.7 } \\ { 11 x - 10 y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$0.4x+0.3y=0.7$$

I-subtract ang \frac{3y}{10} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.4x=-0.3y+0.7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 0.4, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=2.5\left(-0.3y+0.7\right)$$

I-multiply ang 2.5 times \frac{-3y+7}{10}.

$$x=-0.75y+1.75$$

I-substitute ang \frac{-3y+7}{4} para sa x sa kabilang equation na 11x-10y=1.

$$11\left(-0.75y+1.75\right)-10y=1$$

I-multiply ang 11 times \frac{-3y+7}{4}.

$$-8.25y+19.25-10y=1$$

Idagdag ang -\frac{33y}{4} sa -10y.

$$-18.25y+19.25=1$$

I-subtract ang 19.25 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-18.25y=-18.25$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -18.25, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=-0.75y+1.75. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Idagdag ang 1.75 sa -0.75 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\11&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}&-\frac{0.3}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}\\-\frac{11}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}&\frac{0.4}{0.4\left(-10\right)-0.3\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{73}&\frac{3}{73}\\\frac{110}{73}&-\frac{4}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.7\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{73}\times 0.7+\frac{3}{73}\\\frac{110}{73}\times 0.7-\frac{4}{73}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$0.4x+0.3y=0.7,11x-10y=1$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{2x}{5} at 11x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 11 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 0.4.

$$11\times 0.4x+11\times 0.3y=11\times 0.7,0.4\times 11x+0.4\left(-10\right)y=0.4$$

Pasimplehin.

$$4.4x+3.3y=7.7,4.4x-4y=0.4$$

I-subtract ang 4.4x-4y=0.4 mula sa 4.4x+3.3y=7.7 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4.4x-4.4x+3.3y+4y=7.7-0.4$$

Idagdag ang \frac{22x}{5} sa -\frac{22x}{5}. Naka-cancel out ang term na \frac{22x}{5} at -\frac{22x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3.3y+4y=7.7-0.4$$

Idagdag ang \frac{33y}{10} sa 4y.

$$7.3y=7.7-0.4$$

Idagdag ang 7.7 sa -0.4 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$7.3y=7.3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.3, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 11x-10y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$11x-10=1$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$11x=11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 11.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$