Lutasin ang {l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 0.2y mula sa magkabilang dulo.

$$0.9x-0.2y=19$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$0.3x-0.5y=29$$

Idagdag ang \frac{y}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.3x=0.5y+29$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 0.3, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

I-multiply ang \frac{10}{3} times \frac{y}{2}+29.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

I-substitute ang \frac{5y+290}{3} para sa x sa kabilang equation na 0.9x-0.2y=19.

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

I-multiply ang 0.9 times \frac{5y+290}{3}.

$$1.5y+87-0.2y=19$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa -\frac{y}{5}.

$$1.3y+87=19$$

I-subtract ang 87 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$1.3y=-68$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 1.3, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{680}{13}$$

I-substitute ang -\frac{680}{13} para sa y sa x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

I-multiply ang \frac{5}{3} times -\frac{680}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

Idagdag ang \frac{290}{3} sa -\frac{3400}{39} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{370}{39}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 0.2y mula sa magkabilang dulo.

$$0.9x-0.2y=19$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 0.2y mula sa magkabilang dulo.

$$0.9x-0.2y=19$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{3x}{10} at \frac{9x}{10}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 0.9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 0.3.

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

Pasimplehin.

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

I-subtract ang 0.27x-0.06y=5.7 mula sa 0.27x-0.45y=26.1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

Idagdag ang \frac{27x}{100} sa -\frac{27x}{100}. Naka-cancel out ang term na \frac{27x}{100} at -\frac{27x}{100} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

Idagdag ang -\frac{9y}{20} sa \frac{3y}{50}.

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

Idagdag ang 26.1 sa -5.7 sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$-0.39y=20.4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -0.39, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{680}{13}$$

I-substitute ang -\frac{680}{13} para sa y sa 0.9x-0.2y=19. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

I-multiply ang -0.2 times -\frac{680}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

I-subtract ang \frac{136}{13} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 0.9, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{370}{39}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$