Lutasin ang {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{130}{43} = 3\frac{1}{43} \approx 3.023255814$$

$$y = \frac{391}{43} = 9\frac{4}{43} \approx 9.093023256$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$0.6x+2y=20$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$0.6x=-2y+20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 0.6, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

I-multiply ang \frac{5}{3} times -2y+20.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

I-substitute ang \frac{-10y+100}{3} para sa x sa kabilang equation na -4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

I-multiply ang -4 times \frac{-10y+100}{3}.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

Idagdag ang \frac{40y}{3} sa y.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

Idagdag ang -\frac{400}{3} sa 2.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

Idagdag ang \frac{394}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{43}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{391}{43}$$

I-substitute ang \frac{391}{43} para sa y sa x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

I-multiply ang -\frac{10}{3} times \frac{391}{43} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

Idagdag ang \frac{100}{3} sa -\frac{3910}{129} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{130}{43}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0.6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0.6-2\left(-4\right)}&\frac{0.6}{0.6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{3x}{5} at -4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 0.6.

$$-4\times 0.6x-4\times 2y=-4\times 20,0.6\left(-4\right)x+0.6y+0.6\times 2=0.6\left(-1\right)$$

Pasimplehin.

$$-2.4x-8y=-80,-2.4x+0.6y+1.2=-0.6$$

I-subtract ang -2.4x+0.6y+1.2=-0.6 mula sa -2.4x-8y=-80 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2.4x+2.4x-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

Idagdag ang -\frac{12x}{5} sa \frac{12x}{5}. Naka-cancel out ang term na -\frac{12x}{5} at \frac{12x}{5} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

Idagdag ang -8y sa -\frac{3y}{5}.

$$-8.6y-1.2=-80+0.6$$

Idagdag ang -80 sa 0.6.

$$-8.6y-1.2=-79.4$$

Idagdag ang 1.2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8.6y=-78.2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.6, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{391}{43}$$

I-substitute ang \frac{391}{43} para sa y sa -4x+y+2=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

Idagdag ang \frac{391}{43} sa 2.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

I-subtract ang \frac{477}{43} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=\frac{130}{43}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$