Lutasin ang {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-8x+4y=24$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-8x=-4y+24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{8} times -4y+24.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

I-substitute ang \frac{y}{2}-3 para sa x sa kabilang equation na -7x+7y=28.

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

I-multiply ang -7 times \frac{y}{2}-3.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

Idagdag ang -\frac{7y}{2} sa 7y.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{2}y=7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=\frac{1}{2}y-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 2.

$$x=1-3$$

Idagdag ang -3 sa 1.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-2,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Para gawing magkatumbas ang -8x at -7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -8.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

Pasimplehin.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

I-subtract ang 56x-56y=-224 mula sa 56x-28y=-168 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

Idagdag ang 56x sa -56x. Naka-cancel out ang term na 56x at -56x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-28y+56y=-168+224$$

Idagdag ang -28y sa 56y.

$$28y=-168+224$$

Idagdag ang -168 sa 224.

$$28y=56$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 28.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa -7x+7y=28. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-7x+7\times 2=28$$

I-multiply ang 7 times 2.

$$-7x+14=28$$

I-subtract ang 14 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7x=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=2$$