Lutasin ang {l}{-4x-2y=-16}{7x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 16 } \\ { 7 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-4x-2y=-16$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x=2y-16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-16\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times -16+2y.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

I-substitute ang -\frac{y}{2}+4 para sa x sa kabilang equation na 7x-5y=11.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)-5y=11$$

I-multiply ang 7 times -\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28-5y=11$$

Idagdag ang -\frac{7y}{2} sa -5y.

$$-\frac{17}{2}y+28=11$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{17}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=-\frac{1}{2}y+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 2.

$$x=-1+4$$

Idagdag ang 4 sa -1.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{4}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}&\frac{1}{17}\\-\frac{7}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}\left(-16\right)+\frac{1}{17}\times 11\\-\frac{7}{34}\left(-16\right)-\frac{2}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Para gawing magkatumbas ang -4x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -4.

$$7\left(-4\right)x+7\left(-2\right)y=7\left(-16\right),-4\times 7x-4\left(-5\right)y=-4\times 11$$

Pasimplehin.

$$-28x-14y=-112,-28x+20y=-44$$

I-subtract ang -28x+20y=-44 mula sa -28x-14y=-112 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-28x+28x-14y-20y=-112+44$$

Idagdag ang -28x sa 28x. Naka-cancel out ang term na -28x at 28x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-14y-20y=-112+44$$

Idagdag ang -14y sa -20y.

$$-34y=-112+44$$

Idagdag ang -112 sa 44.

$$-34y=-68$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -34.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 7x-5y=11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x-5\times 2=11$$

I-multiply ang -5 times 2.

$$7x-10=11$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=2$$