Lutasin ang {l}{-3x+5y=1}{4x-y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + 5 y = 1 } \\ { 4 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-3x+5y=1$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=-5y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times -5y+1.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

I-substitute ang \frac{5y-1}{3} para sa x sa kabilang equation na 4x-y=10.

$$4\left(\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)-y=10$$

I-multiply ang 4 times \frac{5y-1}{3}.

$$\frac{20}{3}y-\frac{4}{3}-y=10$$

Idagdag ang \frac{20y}{3} sa -y.

$$\frac{17}{3}y-\frac{4}{3}=10$$

Idagdag ang \frac{4}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{17}{3}y=\frac{34}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{17}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

I-multiply ang \frac{5}{3} times 2.

$$x=\frac{10-1}{3}$$

Idagdag ang -\frac{1}{3} sa \frac{10}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{5}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\\-\frac{4}{-3\left(-1\right)-5\times 4}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}+\frac{5}{17}\times 10\\\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-3x+5y=1,4x-y=10$$

Para gawing magkatumbas ang -3x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -3.

$$4\left(-3\right)x+4\times 5y=4,-3\times 4x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

Pasimplehin.

$$-12x+20y=4,-12x+3y=-30$$

I-subtract ang -12x+3y=-30 mula sa -12x+20y=4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-12x+12x+20y-3y=4+30$$

Idagdag ang -12x sa 12x. Naka-cancel out ang term na -12x at 12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$20y-3y=4+30$$

Idagdag ang 20y sa -3y.

$$17y=4+30$$

Idagdag ang 4 sa 30.

$$17y=34$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 17.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 4x-y=10. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-2=10$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=2$$