Lutasin ang {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=1$$

$$b=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 4a mula sa magkabilang dulo.

$$-3a-4a=2b-3$$

Pagsamahin ang -3a at -4a para makuha ang -7a.

$$-7a=2b-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{7} times 2b-3.

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

I-substitute ang \frac{-2b+3}{7} para sa a sa kabilang equation na -2a-b=0.

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

I-multiply ang -2 times \frac{-2b+3}{7}.

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

Idagdag ang \frac{4b}{7} sa -b.

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

Idagdag ang \frac{6}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{3}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=-2$$

I-substitute ang -2 para sa b sa a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

I-multiply ang -\frac{2}{7} times -2.

$$a=\frac{4+3}{7}$$

Idagdag ang \frac{3}{7} sa \frac{4}{7} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a=1$$

Nalutas na ang system.

$$a=1,b=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 4a mula sa magkabilang dulo.

$$-3a-4a=2b-3$$

Pagsamahin ang -3a at -4a para makuha ang -7a.

$$-7a=2b-3$$

I-subtract ang 2b mula sa magkabilang dulo.

$$-7a-2b=-3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable a ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2a.

$$-b=2a$$

I-subtract ang 2a mula sa magkabilang dulo.

$$-b-2a=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=1,b=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 4a mula sa magkabilang dulo.

$$-3a-4a=2b-3$$

Pagsamahin ang -3a at -4a para makuha ang -7a.

$$-7a=2b-3$$

I-subtract ang 2b mula sa magkabilang dulo.

$$-7a-2b=-3$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Ang variable a ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2a.

$$-b=2a$$

I-subtract ang 2a mula sa magkabilang dulo.

$$-b-2a=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Para gawing magkatumbas ang -7a at -2a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -7.

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

Pasimplehin.

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

I-subtract ang 14a+7b=0 mula sa 14a+4b=6 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$14a-14a+4b-7b=6$$

Idagdag ang 14a sa -14a. Naka-cancel out ang term na 14a at -14a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4b-7b=6$$

Idagdag ang 4b sa -7b.

$$-3b=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$b=-2$$

I-substitute ang -2 para sa b sa -2a-b=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2a=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$a=1$$

Nalutas na ang system.

$$a=1,b=-2$$