Lutasin ang {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

I-solve ang a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa a sa pamamagitan ng pag-isolate sa a sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-2a-b+8=0$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2a-b=-8$$

Idagdag ang b sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2a=b-8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times b-8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

I-substitute ang -\frac{b}{2}+4 para sa a sa kabilang equation na a-2b+1=0.

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

Idagdag ang -\frac{b}{2} sa -2b.

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

Idagdag ang 4 sa 1.

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$b=2$$

I-substitute ang 2 para sa b sa a=-\frac{1}{2}b+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

I-multiply ang -\frac{1}{2} times 2.

$$a=-1+4$$

Idagdag ang 4 sa -1.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,b=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na a at b.

$$a=3,b=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Para gawing magkatumbas ang -2a at a, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -2.

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

Pasimplehin.

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

I-subtract ang -2a+4b-2=0 mula sa -2a-b+8=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

Idagdag ang -2a sa 2a. Naka-cancel out ang term na -2a at 2a ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-b-4b+8+2=0$$

Idagdag ang -b sa -4b.

$$-5b+8+2=0$$

Idagdag ang 8 sa 2.

$$-5b+10=0$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5b=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$b=2$$

I-substitute ang 2 para sa b sa a-2b+1=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang a nang direkta.

$$a-2\times 2+1=0$$

I-multiply ang -2 times 2.

$$a-4+1=0$$

Idagdag ang -4 sa 1.

$$a-3=0$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=3$$

Nalutas na ang system.

$$a=3,b=2$$