Lutasin ang {l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-10x-3y=9$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10x=3y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{10} times 9+3y.

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

I-substitute ang \frac{-3y-9}{10} para sa x sa kabilang equation na -5x+5y=-2.

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

I-multiply ang -5 times \frac{-3y-9}{10}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa 5y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

I-subtract ang \frac{9}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{13}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

I-multiply ang -\frac{3}{10} times -1.

$$x=\frac{3-9}{10}$$

Idagdag ang -\frac{9}{10} sa \frac{3}{10} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Para gawing magkatumbas ang -10x at -5x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -5 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -10.

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

Pasimplehin.

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

I-subtract ang 50x-50y=20 mula sa 50x+15y=-45 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

Idagdag ang 50x sa -50x. Naka-cancel out ang term na 50x at -50x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y+50y=-45-20$$

Idagdag ang 15y sa 50y.

$$65y=-45-20$$

Idagdag ang -45 sa -20.

$$65y=-65$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 65.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa -5x+5y=-2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

I-multiply ang 5 times -1.

$$-5x-5=-2$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-5x=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$