Lutasin ang {l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=11$$

$$y=36$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-10x+3y=-2$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-10x=-3y-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{10} times -3y-2.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

I-substitute ang \frac{3y}{10}+\frac{1}{5} para sa x sa kabilang equation na 4x-y=8.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

I-multiply ang 4 times \frac{3y}{10}+\frac{1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

Idagdag ang \frac{6y}{5} sa -y.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

I-subtract ang \frac{4}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=36$$

I-substitute ang 36 para sa y sa x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

I-multiply ang \frac{3}{10} times 36.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

Idagdag ang \frac{1}{5} sa \frac{54}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=11$$

Nalutas na ang system.

$$x=11,y=36$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=11,y=36$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Para gawing magkatumbas ang -10x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -10.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

Pasimplehin.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

I-subtract ang -40x+10y=-80 mula sa -40x+12y=-8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

Idagdag ang -40x sa 40x. Naka-cancel out ang term na -40x at 40x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12y-10y=-8+80$$

Idagdag ang 12y sa -10y.

$$2y=-8+80$$

Idagdag ang -8 sa 80.

$$2y=72$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=36$$

I-substitute ang 36 para sa y sa 4x-y=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x-36=8$$

Idagdag ang 36 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=44$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=11$$

Nalutas na ang system.

$$x=11,y=36$$