Lutasin ang {l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Para hanapin ang kabaligtaran ng -x-y, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -4 gamit ang y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Pagsamahin ang y at -4y para makuha ang -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

I-multiply ang -1 at -1 para makuha ang 1.

$$x-3y+4x=8$$

Pagsamahin ang x at 4x para makuha ang 5x.

$$5x-3y=8$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Idagdag ang -1 at 6 para makuha ang 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

I-subtract ang 5 mula sa 5 para makuha ang 0.

$$3x+2y=20$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$5x-3y=8$$

Idagdag ang 3y sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x=3y+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{5} times 3y+8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

I-substitute ang \frac{3y+8}{5} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=20.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

I-multiply ang 3 times \frac{3y+8}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

Idagdag ang \frac{9y}{5} sa 2y.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

I-subtract ang \frac{24}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{19}{5}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

I-multiply ang \frac{3}{5} times 4.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Idagdag ang \frac{8}{5} sa \frac{12}{5} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Para hanapin ang kabaligtaran ng -x-y, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -4 gamit ang y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Pagsamahin ang y at -4y para makuha ang -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

I-multiply ang -1 at -1 para makuha ang 1.

$$x-3y+4x=8$$

Pagsamahin ang x at 4x para makuha ang 5x.

$$5x-3y=8$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Idagdag ang -1 at 6 para makuha ang 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

I-subtract ang 5 mula sa 5 para makuha ang 0.

$$3x+2y=20$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=4,y=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Para hanapin ang kabaligtaran ng -x-y, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -4 gamit ang y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Pagsamahin ang y at -4y para makuha ang -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

I-multiply ang -1 at -1 para makuha ang 1.

$$x-3y+4x=8$$

Pagsamahin ang x at 4x para makuha ang 5x.

$$5x-3y=8$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Idagdag ang -1 at 6 para makuha ang 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

I-subtract ang 5 mula sa 5 para makuha ang 0.

$$3x+2y=20$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Para gawing magkatumbas ang 5x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

Pasimplehin.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

I-subtract ang 15x+10y=100 mula sa 15x-9y=24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

Idagdag ang 15x sa -15x. Naka-cancel out ang term na 15x at -15x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-9y-10y=24-100$$

Idagdag ang -9y sa -10y.

$$-19y=24-100$$

Idagdag ang 24 sa -100.

$$-19y=-76$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -19.

$$y=4$$

I-substitute ang 4 para sa y sa 3x+2y=20. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\times 4=20$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$3x+8=20$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=4$$

Nalutas na ang system.

$$x=4,y=4$$