Lutasin ang {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Pagsamahin ang -4x at -2x para makuha ang -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Isaalang-alang ang \left(3-x\right)\left(3+x\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. I-square ang 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng 9-x^{2}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

I-subtract ang 9 mula sa 1 para makuha ang -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Pagsamahin ang x^{2} at -x^{2} para makuha ang 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo.

$$-6x+4y=-8-4$$

I-subtract ang 4 mula sa -8 para makuha ang -12.

$$-6x+4y=-12$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-6x+4y=-12$$

I-subtract ang 4y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-6x=-4y-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{6} times -4y-12.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

I-substitute ang \frac{2y}{3}+2 para sa x sa kabilang equation na 2x+y=4.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

I-multiply ang 2 times \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa y.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{7}{3}y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa x=\frac{2}{3}y+2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Pagsamahin ang -4x at -2x para makuha ang -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Isaalang-alang ang \left(3-x\right)\left(3+x\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. I-square ang 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng 9-x^{2}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

I-subtract ang 9 mula sa 1 para makuha ang -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Pagsamahin ang x^{2} at -x^{2} para makuha ang 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo.

$$-6x+4y=-8-4$$

I-subtract ang 4 mula sa -8 para makuha ang -12.

$$-6x+4y=-12$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Pagsamahin ang -4x at -2x para makuha ang -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Isaalang-alang ang \left(3-x\right)\left(3+x\right). Maaaring ma-transform ang pag-multiply sa difference ng mga square gamit ang rule na: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. I-square ang 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng 9-x^{2}, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

I-subtract ang 9 mula sa 1 para makuha ang -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Pagsamahin ang x^{2} at -x^{2} para makuha ang 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo.

$$-6x+4y=-8-4$$

I-subtract ang 4 mula sa -8 para makuha ang -12.

$$-6x+4y=-12$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Para gawing magkatumbas ang -6x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -6.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

Pasimplehin.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

I-subtract ang -12x-6y=-24 mula sa -12x+8y=-24 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

Idagdag ang -12x sa 12x. Naka-cancel out ang term na -12x at 12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$8y+6y=-24+24$$

Idagdag ang 8y sa 6y.

$$14y=-24+24$$

Idagdag ang -24 sa 24.

$$14y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 14.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa 2x+y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=0$$