Lutasin ang {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Idagdag ang 4 at 1 para makuha ang 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Pagsamahin ang x^{2} at -x^{2} para makuha ang 0.

$$4x+5=5y$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$4x+5-5y=0$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$4x-5y=-5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x-5y=-5$$

Idagdag ang 5y sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=5y-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

I-substitute ang \frac{-5+5y}{4} para sa x sa kabilang equation na 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

I-multiply ang 3 times \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Idagdag ang \frac{15y}{4} sa y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Idagdag ang \frac{15}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{19}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Idagdag ang -\frac{5}{4} sa \frac{5}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Idagdag ang 4 at 1 para makuha ang 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Pagsamahin ang x^{2} at -x^{2} para makuha ang 0.

$$4x+5=5y$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$4x+5-5y=0$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$4x-5y=-5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Idagdag ang 4 at 1 para makuha ang 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

I-subtract ang x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Pagsamahin ang x^{2} at -x^{2} para makuha ang 0.

$$4x+5=5y$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo.

$$4x+5-5y=0$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$4x-5y=-5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Pasimplehin.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

I-subtract ang 12x+4y=4 mula sa 12x-15y=-15 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-15y-4y=-15-4$$

Idagdag ang -15y sa -4y.

$$-19y=-15-4$$

Idagdag ang -15 sa -4.

$$-19y=-19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -19.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 3x+y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+1=1$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=1$$