Lutasin ang {l}{x-1/2-y+1/3=0}{x+3/3-y-2/2=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - 1 } { 2 } - \frac { y + 1 } { 3 } = 0 } \\ { \frac { x + 3 } { 3 } - \frac { y - 2 } { 2 } = 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\left(x-1\right)-2\left(y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-1.

$$3x-3-2\left(y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang y+1.

$$3x-3-2y-2=0$$

I-subtract ang 2 mula sa -3 para makuha ang -5.

$$3x-5-2y=0$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$3x-2y=5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(x+3\right)-3\left(y-2\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+3.

$$2x+6-3\left(y-2\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang y-2.

$$2x+6-3y+6=12$$

Idagdag ang 6 at 6 para makuha ang 12.

$$2x+12-3y=12$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo.

$$2x-3y=12-12$$

I-subtract ang 12 mula sa 12 para makuha ang 0.

$$2x-3y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-2y=5,2x-3y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-2y=5$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=2y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

I-substitute ang \frac{2y+5}{3} para sa x sa kabilang equation na 2x-3y=0.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-3y=0$$

I-multiply ang 2 times \frac{2y+5}{3}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-3y=0$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa -3y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=0$$

I-subtract ang \frac{10}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{10}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{5}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{2}{3}\times 2+\frac{5}{3}$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times 2.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa \frac{4}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\left(x-1\right)-2\left(y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-1.

$$3x-3-2\left(y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang y+1.

$$3x-3-2y-2=0$$

I-subtract ang 2 mula sa -3 para makuha ang -5.

$$3x-5-2y=0$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$3x-2y=5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(x+3\right)-3\left(y-2\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+3.

$$2x+6-3\left(y-2\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang y-2.

$$2x+6-3y+6=12$$

Idagdag ang 6 at 6 para makuha ang 12.

$$2x+12-3y=12$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo.

$$2x-3y=12-12$$

I-subtract ang 12 mula sa 12 para makuha ang 0.

$$2x-3y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-2y=5,2x-3y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\left(x-1\right)-2\left(y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x-1.

$$3x-3-2\left(y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang y+1.

$$3x-3-2y-2=0$$

I-subtract ang 2 mula sa -3 para makuha ang -5.

$$3x-5-2y=0$$

Idagdag ang 5 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$3x-2y=5$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,2.

$$2\left(x+3\right)-3\left(y-2\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+3.

$$2x+6-3\left(y-2\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang y-2.

$$2x+6-3y+6=12$$

Idagdag ang 6 at 6 para makuha ang 12.

$$2x+12-3y=12$$

I-subtract ang 12 mula sa magkabilang dulo.

$$2x-3y=12-12$$

I-subtract ang 12 mula sa 12 para makuha ang 0.

$$2x-3y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-2y=5,2x-3y=0$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

Pasimplehin.

$$6x-4y=10,6x-9y=0$$

I-subtract ang 6x-9y=0 mula sa 6x-4y=10 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$6x-6x-4y+9y=10$$

Idagdag ang 6x sa -6x. Naka-cancel out ang term na 6x at -6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-4y+9y=10$$

Idagdag ang -4y sa 9y.

$$5y=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$y=2$$

I-substitute ang 2 para sa y sa 2x-3y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-3\times 2=0$$

I-multiply ang -3 times 2.

$$2x-6=0$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=2$$