Lutasin ang {l}{x/y=e}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { y } = e } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{e}{e+1}\approx 0.731058579$$

$$y=\frac{1}{e+1}\approx 0.268941421$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang y.

$$x=ey$$

I-substitute ang ey para sa x sa kabilang equation na x+y=1.

$$ey+y=1$$

Idagdag ang ey sa y.

$$\left(e+1\right)y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang e+1.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

I-substitute ang \frac{1}{e+1} para sa y sa x=ey. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=e\times \frac{1}{e+1}$$

I-multiply ang e times \frac{1}{e+1}.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

Ang variable y ay hindi katumbas ng 0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang y.

$$x=ey$$

I-subtract ang ey mula sa magkabilang dulo.

$$x-ey=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-e\right)}&-\frac{-e}{1-\left(-e\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-e\right)}&\frac{1}{1-\left(-e\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{e+1}&\frac{e}{e+1}\\-\frac{1}{e+1}&\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{e}{e+1}\\\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

Ang variable y ay hindi katumbas ng 0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng 0 dahil hindi tukoy ang division by zero. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang y.

$$x=ey$$

I-subtract ang ey mula sa magkabilang dulo.

$$x-ey=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

I-subtract ang x+y=1 mula sa x+\left(-e\right)y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$x-x+\left(-e\right)y-y=-1$$

Idagdag ang x sa -x. Naka-cancel out ang term na x at -x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\left(-e\right)y-y=-1$$

Idagdag ang -ey sa -y.

$$\left(-e-1\right)y=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -e-1.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

I-substitute ang \frac{1}{1+e} para sa y sa x+y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+\frac{1}{e+1}=1$$

I-subtract ang \frac{1}{1+e} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

Ang variable y ay hindi katumbas ng 0.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$