Lutasin ang {l}{x/6-y=-1}{3x-2y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - y = - 1 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{1}{6}x-y=-1$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{6}x=y-1$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=6\left(y-1\right)$$

I-multiply ang 6 times y-1.

$$x=6y-6$$

I-substitute ang -6+6y para sa x sa kabilang equation na 3x-2y=6.

$$3\left(6y-6\right)-2y=6$$

I-multiply ang 3 times -6+6y.

$$18y-18-2y=6$$

Idagdag ang 18y sa -2y.

$$16y-18=6$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$16y=24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 16.

$$y=\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{3}{2} para sa y sa x=6y-6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=6\times \frac{3}{2}-6$$

I-multiply ang 6 times \frac{3}{2}.

$$x=9-6$$

Idagdag ang -6 sa 9.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{3}{8}\\-\frac{9}{8}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{9}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{x}{6} at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{1}{6}.

$$3\times \frac{1}{6}x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),\frac{1}{6}\times 3x+\frac{1}{6}\left(-2\right)y=\frac{1}{6}\times 6$$

Pasimplehin.

$$\frac{1}{2}x-3y=-3,\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$$

I-subtract ang \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 mula sa \frac{1}{2}x-3y=-3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

Idagdag ang \frac{x}{2} sa -\frac{x}{2}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{2} at -\frac{x}{2} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

Idagdag ang -3y sa \frac{y}{3}.

$$-\frac{8}{3}y=-3-1$$

Idagdag ang -3 sa -1.

$$-\frac{8}{3}y=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{8}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{3}{2} para sa y sa 3x-2y=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-2\times \frac{3}{2}=6$$

I-multiply ang -2 times \frac{3}{2}.

$$3x-3=6$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$