Lutasin ang {l}{x/4+y/3=7}{2/3x+y/2=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 7 } \\ { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { y } { 2 } = 14 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=12$$

$$y=12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7$$

I-subtract ang \frac{y}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y+7$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=4\left(-\frac{1}{3}y+7\right)$$

I-multiply ang 4 times -\frac{y}{3}+7.

$$x=-\frac{4}{3}y+28$$

I-substitute ang -\frac{4y}{3}+28 para sa x sa kabilang equation na \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14.

$$\frac{2}{3}\left(-\frac{4}{3}y+28\right)+\frac{1}{2}y=14$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times -\frac{4y}{3}+28.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{56}{3}+\frac{1}{2}y=14$$

Idagdag ang -\frac{8y}{9} sa \frac{y}{2}.

$$-\frac{7}{18}y+\frac{56}{3}=14$$

I-subtract ang \frac{56}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{7}{18}y=-\frac{14}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{7}{18}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=12$$

I-substitute ang 12 para sa y sa x=-\frac{4}{3}y+28. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{4}{3}\times 12+28$$

I-multiply ang -\frac{4}{3} times 12.

$$x=-16+28$$

Idagdag ang 28 sa -16.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}&\frac{24}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}\times 7+\frac{24}{7}\times 14\\\frac{48}{7}\times 7-\frac{18}{7}\times 14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=12,y=12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{x}{4} at \frac{2x}{3}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{2}{3} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{1}{4}.

$$\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{2}{3}\times 7,\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{4}\times 14$$

Pasimplehin.

$$\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}$$

I-subtract ang \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2} mula sa \frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

Idagdag ang \frac{x}{6} sa -\frac{x}{6}. Naka-cancel out ang term na \frac{x}{6} at -\frac{x}{6} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

Idagdag ang \frac{2y}{9} sa -\frac{y}{8}.

$$\frac{7}{72}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}$$

Idagdag ang \frac{14}{3} sa -\frac{7}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$\frac{7}{72}y=\frac{7}{6}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{7}{72}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=12$$

I-substitute ang 12 para sa y sa \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\times 12=14$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times 12.

$$\frac{2}{3}x+6=14$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{3}x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=12$$

Nalutas na ang system.

$$x=12,y=12$$