Lutasin ang {l}{x/3-y/6=3}{2(y-x/2)=3(y-x/18)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 6 } = 3 } \\ { 2 ( y - \frac { x } { 2 } ) = 3 ( y - \frac { x } { 18 } ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{108}{17} = 6\frac{6}{17} \approx 6.352941176$$

$$y = -\frac{90}{17} = -5\frac{5}{17} \approx -5.294117647$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,6.

$$2x-y=18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 18, ang least common multiple ng 2,18.

$$36\left(y-\frac{x}{2}\right)=54\left(y-\frac{x}{18}\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 36 gamit ang y-\frac{x}{2}.

$$36y+36\left(-\frac{x}{2}\right)=54\left(y-\frac{x}{18}\right)$$

Kanselahin ang greatest common factor na 2 sa 36 at 2.

$$36y-18x=54\left(y-\frac{x}{18}\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 54 gamit ang y-\frac{x}{18}.

$$36y-18x=54y+54\left(-\frac{x}{18}\right)$$

Kanselahin ang greatest common factor na 18 sa 54 at 18.

$$36y-18x=54y-3x$$

I-subtract ang 54y mula sa magkabilang dulo.

$$36y-18x-54y=-3x$$

Pagsamahin ang 36y at -54y para makuha ang -18y.

$$-18y-18x=-3x$$

Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$-18y-18x+3x=0$$

Pagsamahin ang -18x at 3x para makuha ang -15x.

$$-18y-15x=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x-y=18,-15x-18y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x-y=18$$

Idagdag ang y sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=y+18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+18\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times y+18.

$$x=\frac{1}{2}y+9$$

I-substitute ang \frac{y}{2}+9 para sa x sa kabilang equation na -15x-18y=0.

$$-15\left(\frac{1}{2}y+9\right)-18y=0$$

I-multiply ang -15 times \frac{y}{2}+9.

$$-\frac{15}{2}y-135-18y=0$$

Idagdag ang -\frac{15y}{2} sa -18y.

$$-\frac{51}{2}y-135=0$$

Idagdag ang 135 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{51}{2}y=135$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{51}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=-\frac{90}{17}$$

I-substitute ang -\frac{90}{17} para sa y sa x=\frac{1}{2}y+9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{90}{17}\right)+9$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -\frac{90}{17} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{45}{17}+9$$

Idagdag ang 9 sa -\frac{45}{17}.

$$x=\frac{108}{17}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{108}{17},y=-\frac{90}{17}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,6.

$$2x-y=18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 18, ang least common multiple ng 2,18.

$$36\left(y-\frac{x}{2}\right)=54\left(y-\frac{x}{18}\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 36 gamit ang y-\frac{x}{2}.

$$36y+36\left(-\frac{x}{2}\right)=54\left(y-\frac{x}{18}\right)$$

Kanselahin ang greatest common factor na 2 sa 36 at 2.

$$36y-18x=54\left(y-\frac{x}{18}\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 54 gamit ang y-\frac{x}{18}.

$$36y-18x=54y+54\left(-\frac{x}{18}\right)$$

Kanselahin ang greatest common factor na 18 sa 54 at 18.

$$36y-18x=54y-3x$$

I-subtract ang 54y mula sa magkabilang dulo.

$$36y-18x-54y=-3x$$

Pagsamahin ang 36y at -54y para makuha ang -18y.

$$-18y-18x=-3x$$

Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$-18y-18x+3x=0$$

Pagsamahin ang -18x at 3x para makuha ang -15x.

$$-18y-15x=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x-y=18,-15x-18y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-15&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&-1\\-15&-18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-15&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-15&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-15&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-15&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-15&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{2\left(-18\right)-\left(-\left(-15\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-18\right)-\left(-\left(-15\right)\right)}\\-\frac{-15}{2\left(-18\right)-\left(-\left(-15\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-18\right)-\left(-\left(-15\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}&-\frac{1}{51}\\-\frac{5}{17}&-\frac{2}{51}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}\times 18\\-\frac{5}{17}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{108}{17}\\-\frac{90}{17}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{108}{17},y=-\frac{90}{17}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 3,6.

$$2x-y=18$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 18, ang least common multiple ng 2,18.

$$36\left(y-\frac{x}{2}\right)=54\left(y-\frac{x}{18}\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 36 gamit ang y-\frac{x}{2}.

$$36y+36\left(-\frac{x}{2}\right)=54\left(y-\frac{x}{18}\right)$$

Kanselahin ang greatest common factor na 2 sa 36 at 2.

$$36y-18x=54\left(y-\frac{x}{18}\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 54 gamit ang y-\frac{x}{18}.

$$36y-18x=54y+54\left(-\frac{x}{18}\right)$$

Kanselahin ang greatest common factor na 18 sa 54 at 18.

$$36y-18x=54y-3x$$

I-subtract ang 54y mula sa magkabilang dulo.

$$36y-18x-54y=-3x$$

Pagsamahin ang 36y at -54y para makuha ang -18y.

$$-18y-18x=-3x$$

Idagdag ang 3x sa parehong bahagi.

$$-18y-18x+3x=0$$

Pagsamahin ang -18x at 3x para makuha ang -15x.

$$-18y-15x=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x-y=18,-15x-18y=0$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at -15x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -15 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-15\times 2x-15\left(-1\right)y=-15\times 18,2\left(-15\right)x+2\left(-18\right)y=0$$

Pasimplehin.

$$-30x+15y=-270,-30x-36y=0$$

I-subtract ang -30x-36y=0 mula sa -30x+15y=-270 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-30x+30x+15y+36y=-270$$

Idagdag ang -30x sa 30x. Naka-cancel out ang term na -30x at 30x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$15y+36y=-270$$

Idagdag ang 15y sa 36y.

$$51y=-270$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 51.

$$y=-\frac{90}{17}$$

I-substitute ang -\frac{90}{17} para sa y sa -15x-18y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-15x-18\left(-\frac{90}{17}\right)=0$$

I-multiply ang -18 times -\frac{90}{17}.

$$-15x+\frac{1620}{17}=0$$

I-subtract ang \frac{1620}{17} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-15x=-\frac{1620}{17}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$x=\frac{108}{17}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{108}{17},y=-\frac{90}{17}$$