Lutasin ang {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Gawin ang mga multiplication.

$$4x+3y=12-12$$

I-subtract ang 12 mula sa 12 para makuha ang 0.

$$4x+3y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 20, ang least common multiple ng 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -10 gamit ang y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Pagsamahin ang 4y at -10y para makuha ang -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Pagsamahin ang 5y at -2y para makuha ang 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Pagsamahin ang 5x at 2x para makuha ang 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Idagdag ang -15 at 2 para makuha ang -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

I-subtract ang 7x mula sa magkabilang dulo.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Pagsamahin ang 8x at -7x para makuha ang x.

$$x-6y+20=3y-13$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Pagsamahin ang -6y at -3y para makuha ang -9y.

$$x-9y+20=-13$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo.

$$x-9y=-13-20$$

I-subtract ang 20 mula sa -13 para makuha ang -33.

$$x-9y=-33$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$4x+3y=0$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=-3y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

I-substitute ang -\frac{3y}{4} para sa x sa kabilang equation na x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

Idagdag ang -\frac{3y}{4} sa -9y.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{39}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{44}{13}$$

I-substitute ang \frac{44}{13} para sa y sa x=-\frac{3}{4}y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times \frac{44}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Gawin ang mga multiplication.

$$4x+3y=12-12$$

I-subtract ang 12 mula sa 12 para makuha ang 0.

$$4x+3y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 20, ang least common multiple ng 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -10 gamit ang y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Pagsamahin ang 4y at -10y para makuha ang -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Pagsamahin ang 5y at -2y para makuha ang 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Pagsamahin ang 5x at 2x para makuha ang 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Idagdag ang -15 at 2 para makuha ang -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

I-subtract ang 7x mula sa magkabilang dulo.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Pagsamahin ang 8x at -7x para makuha ang x.

$$x-6y+20=3y-13$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Pagsamahin ang -6y at -3y para makuha ang -9y.

$$x-9y+20=-13$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo.

$$x-9y=-13-20$$

I-subtract ang 20 mula sa -13 para makuha ang -33.

$$x-9y=-33$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Gawin ang mga multiplication.

$$4x+3y=12-12$$

I-subtract ang 12 mula sa 12 para makuha ang 0.

$$4x+3y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 20, ang least common multiple ng 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 4 gamit ang 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -10 gamit ang y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Pagsamahin ang 4y at -10y para makuha ang -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Pagsamahin ang 5y at -2y para makuha ang 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Pagsamahin ang 5x at 2x para makuha ang 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Idagdag ang -15 at 2 para makuha ang -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

I-subtract ang 7x mula sa magkabilang dulo.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Pagsamahin ang 8x at -7x para makuha ang x.

$$x-6y+20=3y-13$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Pagsamahin ang -6y at -3y para makuha ang -9y.

$$x-9y+20=-13$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo.

$$x-9y=-13-20$$

I-subtract ang 20 mula sa -13 para makuha ang -33.

$$x-9y=-33$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Para gawing magkatumbas ang 4x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 4.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

Pasimplehin.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

I-subtract ang 4x-36y=-132 mula sa 4x+3y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

Idagdag ang 4x sa -4x. Naka-cancel out ang term na 4x at -4x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$3y+36y=132$$

Idagdag ang 3y sa 36y.

$$39y=132$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 39.

$$y=\frac{44}{13}$$

I-substitute ang \frac{44}{13} para sa y sa x-9y=-33. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

I-multiply ang -9 times \frac{44}{13}.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

Idagdag ang \frac{396}{13} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$