Lutasin ang {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

I-multiply ang 1 at 2 para makuha ang 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Idagdag ang 2 at 1 para makuha ang 3.

$$3x+y=3\times 3$$

I-multiply ang 3 at 3 para makuha ang 9.

$$3x+y=9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

I-multiply ang 3 at 2 para makuha ang 6.

$$6x-5y=-3$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+y=9$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-y+9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

I-substitute ang -\frac{y}{3}+3 para sa x sa kabilang equation na 6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

I-multiply ang 6 times -\frac{y}{3}+3.

$$-2y+18-5y=-3$$

Idagdag ang -2y sa -5y.

$$-7y+18=-3$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-7y=-21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa x=-\frac{1}{3}y+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

I-multiply ang -\frac{1}{3} times 3.

$$x=-1+3$$

Idagdag ang 3 sa -1.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

I-multiply ang 1 at 2 para makuha ang 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Idagdag ang 2 at 1 para makuha ang 3.

$$3x+y=3\times 3$$

I-multiply ang 3 at 3 para makuha ang 9.

$$3x+y=9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

I-multiply ang 3 at 2 para makuha ang 6.

$$6x-5y=-3$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=2,y=3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

I-multiply ang 1 at 2 para makuha ang 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Idagdag ang 2 at 1 para makuha ang 3.

$$3x+y=3\times 3$$

I-multiply ang 3 at 3 para makuha ang 9.

$$3x+y=9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

I-multiply ang 3 at 2 para makuha ang 6.

$$6x-5y=-3$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

Pasimplehin.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

I-subtract ang 18x-15y=-9 mula sa 18x+6y=54 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

Idagdag ang 18x sa -18x. Naka-cancel out ang term na 18x at -18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y+15y=54+9$$

Idagdag ang 6y sa 15y.

$$21y=54+9$$

Idagdag ang 54 sa 9.

$$21y=63$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 21.

$$y=3$$

I-substitute ang 3 para sa y sa 6x-5y=-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-5\times 3=-3$$

I-multiply ang -5 times 3.

$$6x-15=-3$$

Idagdag ang 15 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=2$$

Nalutas na ang system.

$$x=2,y=3$$