Lutasin ang {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution at Quadratic Formula

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 4, ang least common multiple ng 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang my mula sa magkabilang dulo.

$$x-my=1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

I-solve ang x+\left(-m\right)y=1 para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang panig ng equal sign.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

I-subtract ang \left(-m\right)y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=my+1$$

I-substitute ang my+1 para sa x sa kabilang equation na 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

I-square ang my+1.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

Idagdag ang 2y^{2} sa m^{2}y^{2}.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2+1m^{2} para sa a, 1\times 1\times 2m para sa b, at -3 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

I-square ang 1\times 1\times 2m.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

I-multiply ang -4 times 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

I-multiply ang -8-4m^{2} times -3.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Idagdag ang 4m^{2} sa 24+12m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Kunin ang square root ng 24+16m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

I-multiply ang 2 times 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -2m sa 2\sqrt{6+4m^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

I-divide ang -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} gamit ang 4+2m^{2}.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 2\sqrt{6+4m^{2}} mula sa -2m.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

I-divide ang -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} gamit ang 4+2m^{2}.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

May dalawang solution para sa y: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} at -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. I-substitute ang \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} para sa y sa equation na x=my+1 para hanapin ang nauugnay na solution para sa x na umaakma sa dalawang equation.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

I-multiply ang m times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

Idagdag ang m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} sa 1.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

Ngayon, i-substitute ang -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} para sa y sa equation na x=my+1 at i-solve para hanapin ang nauugnay na solution para sa x na umaakma sa dalawang equation.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

I-multiply ang m times -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

Idagdag ang m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) sa 1.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

Nalutas na ang system.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

I-solve ang x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$