Lutasin ang {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Pagsamahin ang y at -3y para makuha ang -2y.

$$x-2y+2=6$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$x-2y=6-2$$

I-subtract ang 2 mula sa 6 para makuha ang 4.

$$x-2y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$3x+4y=6x-8$$

I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$3x+4y-6x=-8$$

Pagsamahin ang 3x at -6x para makuha ang -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-2y=4$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=2y+4$$

I-substitute ang 4+2y para sa x sa kabilang equation na -3x+4y=-8.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

I-multiply ang -3 times 4+2y.

$$-6y-12+4y=-8$$

Idagdag ang -6y sa 4y.

$$-2y-12=-8$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2y=4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=2y+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

I-multiply ang 2 times -2.

$$x=-4+4$$

Idagdag ang 4 sa -4.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Pagsamahin ang y at -3y para makuha ang -2y.

$$x-2y+2=6$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$x-2y=6-2$$

I-subtract ang 2 mula sa 6 para makuha ang 4.

$$x-2y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$3x+4y=6x-8$$

I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$3x+4y-6x=-8$$

Pagsamahin ang 3x at -6x para makuha ang -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Pagsamahin ang y at -3y para makuha ang -2y.

$$x-2y+2=6$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo.

$$x-2y=6-2$$

I-subtract ang 2 mula sa 6 para makuha ang 4.

$$x-2y=4$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

I-multiply ang 2 at 2 para makuha ang 4.

$$3x+4y=6x-8$$

I-subtract ang 6x mula sa magkabilang dulo.

$$3x+4y-6x=-8$$

Pagsamahin ang 3x at -6x para makuha ang -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Para gawing magkatumbas ang x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

Pasimplehin.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

I-subtract ang -3x+4y=-8 mula sa -3x+6y=-12 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

Idagdag ang -3x sa 3x. Naka-cancel out ang term na -3x at 3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y-4y=-12+8$$

Idagdag ang 6y sa -4y.

$$2y=-12+8$$

Idagdag ang -12 sa 8.

$$2y=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa -3x+4y=-8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

I-multiply ang 4 times -2.

$$-3x-8=-8$$

Idagdag ang 8 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=-2$$