Lutasin ang {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -5,0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang y\left(y+5\right), ang least common multiple ng y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y gamit ang x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y+5 gamit ang x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

I-subtract ang yx mula sa magkabilang dulo.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Pagsamahin ang yx at -yx para makuha ang 0.

$$2y=7y+5x+35$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$2y-7y=5x+35$$

Pagsamahin ang 2y at -7y para makuha ang -5y.

$$-5y=5x+35$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

I-multiply ang -\frac{1}{5} times 35+5x.

$$y=-x-7$$

I-substitute ang -x-7 para sa y sa kabilang equation na -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

I-multiply ang -4 times -x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

Idagdag ang 4x sa 2x.

$$6x+28=-1$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=-29$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=-\frac{29}{6}$$

I-substitute ang -\frac{29}{6} para sa x sa y=-x-7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

I-multiply ang -1 times -\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

Idagdag ang -7 sa \frac{29}{6}.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -5,0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang y\left(y+5\right), ang least common multiple ng y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y gamit ang x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y+5 gamit ang x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

I-subtract ang yx mula sa magkabilang dulo.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Pagsamahin ang yx at -yx para makuha ang 0.

$$2y=7y+5x+35$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$2y-7y=5x+35$$

Pagsamahin ang 2y at -7y para makuha ang -5y.

$$-5y=5x+35$$

I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$-5y-5x=35$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Ang variable y ay hindi katumbas ng anuman sa mga value na -5,0 dahil hindi tukoy ang division by zero. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang y\left(y+5\right), ang least common multiple ng y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y gamit ang x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang y+5 gamit ang x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

I-subtract ang yx mula sa magkabilang dulo.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Pagsamahin ang yx at -yx para makuha ang 0.

$$2y=7y+5x+35$$

I-subtract ang 7y mula sa magkabilang dulo.

$$2y-7y=5x+35$$

Pagsamahin ang 2y at -7y para makuha ang -5y.

$$-5y=5x+35$$

I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo.

$$-5y-5x=35$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Para gawing magkatumbas ang -5y at -4y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -5.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

Pasimplehin.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

I-subtract ang 20y-10x=5 mula sa 20y+20x=-140 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

Idagdag ang 20y sa -20y. Naka-cancel out ang term na 20y at -20y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$20x+10x=-140-5$$

Idagdag ang 20x sa 10x.

$$30x=-140-5$$

Idagdag ang -140 sa -5.

$$30x=-145$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 30.

$$x=-\frac{29}{6}$$

I-substitute ang -\frac{29}{6} para sa x sa -4y+2x=-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

I-multiply ang 2 times -\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

Idagdag ang \frac{29}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Nalutas na ang system.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$