Lutasin ang {l}{7/3x-3/4y=x-2}{2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 7 } { 3 } x - \frac { 3 } { 4 } y = x - 2 } \\ { 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-6$$

$$y=-8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2$$

Pagsamahin ang \frac{7}{3}x at -x para makuha ang \frac{4}{3}x.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

Idagdag ang \frac{3y}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}y-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{4}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}y-2\right)$$

I-multiply ang \frac{3}{4} times \frac{3y}{4}-2.

$$x=\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}$$

I-substitute ang \frac{9y}{16}-\frac{3}{2} para sa x sa kabilang equation na 2x-y=-4.

$$2\left(\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}\right)-y=-4$$

I-multiply ang 2 times \frac{9y}{16}-\frac{3}{2}.

$$\frac{9}{8}y-3-y=-4$$

Idagdag ang \frac{9y}{8} sa -y.

$$\frac{1}{8}y-3=-4$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{8}y=-1$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$y=-8$$

I-substitute ang -8 para sa y sa x=\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{9}{16}\left(-8\right)-\frac{3}{2}$$

I-multiply ang \frac{9}{16} times -8.

$$x=\frac{-9-3}{2}$$

Idagdag ang -\frac{3}{2} sa -\frac{9}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-6$$

Nalutas na ang system.

$$x=-6,y=-8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2$$

Pagsamahin ang \frac{7}{3}x at -x para makuha ang \frac{4}{3}x.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}\\-\frac{2}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}&\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{9}{2}\\-12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\left(-2\right)+\frac{9}{2}\left(-4\right)\\-12\left(-2\right)+8\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-8\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-6,y=-8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2$$

Pagsamahin ang \frac{7}{3}x at -x para makuha ang \frac{4}{3}x.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{4x}{3} at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{4}{3}.

$$2\times \frac{4}{3}x+2\left(-\frac{3}{4}\right)y=2\left(-2\right),\frac{4}{3}\times 2x+\frac{4}{3}\left(-1\right)y=\frac{4}{3}\left(-4\right)$$

Pasimplehin.

$$\frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y=-4,\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}y=-\frac{16}{3}$$

I-subtract ang \frac{8}{3}x-\frac{4}{3}y=-\frac{16}{3} mula sa \frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y=-4 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{8}{3}x-\frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y+\frac{4}{3}y=-4+\frac{16}{3}$$

Idagdag ang \frac{8x}{3} sa -\frac{8x}{3}. Naka-cancel out ang term na \frac{8x}{3} at -\frac{8x}{3} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{4}{3}y=-4+\frac{16}{3}$$

Idagdag ang -\frac{3y}{2} sa \frac{4y}{3}.

$$-\frac{1}{6}y=-4+\frac{16}{3}$$

Idagdag ang -4 sa \frac{16}{3}.

$$-\frac{1}{6}y=\frac{4}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=-8$$

I-substitute ang -8 para sa y sa 2x-y=-4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x-\left(-8\right)=-4$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=-6$$

Nalutas na ang system.

$$x=-6,y=-8$$