Lutasin ang {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 40, ang least common multiple ng 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

I-multiply ang 10 at 5 para makuha ang 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 50 gamit ang x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

I-multiply ang -4 at 3 para makuha ang -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -12 gamit ang 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

I-subtract ang 12 mula sa -150 para makuha ang -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -7 gamit ang x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

I-subtract ang 7 mula sa 4 para makuha ang -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Idagdag ang 35x sa parehong bahagi.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Pagsamahin ang 50x at 35x para makuha ang 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Idagdag ang 35y sa parehong bahagi.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Pagsamahin ang -24y at 35y para makuha ang 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Idagdag ang 162 sa parehong bahagi.

$$85x+11y=-15+162$$

Idagdag ang -15 at 162 para makuha ang 147.

$$85x+11y=147$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -5 gamit ang 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

I-subtract ang 35 mula sa magkabilang dulo.

$$6x-10y=21-35$$

I-subtract ang 35 mula sa 21 para makuha ang -14.

$$6x-10y=-14$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$85x+11y=147$$

I-subtract ang 11y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$85x=-11y+147$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 85.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{85} times -11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

I-substitute ang \frac{-11y+147}{85} para sa x sa kabilang equation na 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

I-multiply ang 6 times \frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

Idagdag ang -\frac{66y}{85} sa -10y.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

I-subtract ang \frac{882}{85} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{916}{85}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{518}{229}$$

I-substitute ang \frac{518}{229} para sa y sa x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

I-multiply ang -\frac{11}{85} times \frac{518}{229} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

Idagdag ang \frac{147}{85} sa -\frac{5698}{19465} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{329}{229}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 40, ang least common multiple ng 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

I-multiply ang 10 at 5 para makuha ang 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 50 gamit ang x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

I-multiply ang -4 at 3 para makuha ang -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -12 gamit ang 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

I-subtract ang 12 mula sa -150 para makuha ang -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -7 gamit ang x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

I-subtract ang 7 mula sa 4 para makuha ang -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Idagdag ang 35x sa parehong bahagi.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Pagsamahin ang 50x at 35x para makuha ang 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Idagdag ang 35y sa parehong bahagi.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Pagsamahin ang -24y at 35y para makuha ang 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Idagdag ang 162 sa parehong bahagi.

$$85x+11y=-15+162$$

Idagdag ang -15 at 162 para makuha ang 147.

$$85x+11y=147$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -5 gamit ang 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

I-subtract ang 35 mula sa magkabilang dulo.

$$6x-10y=21-35$$

I-subtract ang 35 mula sa 21 para makuha ang -14.

$$6x-10y=-14$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 40, ang least common multiple ng 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

I-multiply ang 10 at 5 para makuha ang 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 50 gamit ang x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

I-multiply ang -4 at 3 para makuha ang -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -12 gamit ang 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

I-subtract ang 12 mula sa -150 para makuha ang -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -7 gamit ang x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

I-subtract ang 7 mula sa 4 para makuha ang -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 5 gamit ang -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Idagdag ang 35x sa parehong bahagi.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Pagsamahin ang 50x at 35x para makuha ang 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Idagdag ang 35y sa parehong bahagi.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Pagsamahin ang -24y at 35y para makuha ang 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Idagdag ang 162 sa parehong bahagi.

$$85x+11y=-15+162$$

Idagdag ang -15 at 162 para makuha ang 147.

$$85x+11y=147$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -5 gamit ang 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

I-subtract ang 35 mula sa magkabilang dulo.

$$6x-10y=21-35$$

I-subtract ang 35 mula sa 21 para makuha ang -14.

$$6x-10y=-14$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Para gawing magkatumbas ang 85x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 85.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

Pasimplehin.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

I-subtract ang 510x-850y=-1190 mula sa 510x+66y=882 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

Idagdag ang 510x sa -510x. Naka-cancel out ang term na 510x at -510x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$66y+850y=882+1190$$

Idagdag ang 66y sa 850y.

$$916y=882+1190$$

Idagdag ang 882 sa 1190.

$$916y=2072$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 916.

$$y=\frac{518}{229}$$

I-substitute ang \frac{518}{229} para sa y sa 6x-10y=-14. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

I-multiply ang -10 times \frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

Idagdag ang \frac{5180}{229} sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{329}{229}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$