Lutasin ang {l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

I-subtract ang 2 mula sa -21 para makuha ang -23.

$$9x-23-4y=0$$

Idagdag ang 23 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$9x-4y=23$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -5 gamit ang 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

I-subtract ang 20 mula sa 6 para makuha ang -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Idagdag ang 14 sa parehong bahagi.

$$3x-25y=-30+14$$

Idagdag ang -30 at 14 para makuha ang -16.

$$3x-25y=-16$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$9x-4y=23$$

Idagdag ang 4y sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=4y+23$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{9} times 4y+23.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

I-substitute ang \frac{4y+23}{9} para sa x sa kabilang equation na 3x-25y=-16.

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

I-multiply ang 3 times \frac{4y+23}{9}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

Idagdag ang \frac{4y}{3} sa -25y.

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

I-subtract ang \frac{23}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{71}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{4+23}{9}$$

Idagdag ang \frac{23}{9} sa \frac{4}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

I-subtract ang 2 mula sa -21 para makuha ang -23.

$$9x-23-4y=0$$

Idagdag ang 23 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$9x-4y=23$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -5 gamit ang 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

I-subtract ang 20 mula sa 6 para makuha ang -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Idagdag ang 14 sa parehong bahagi.

$$3x-25y=-30+14$$

Idagdag ang -30 at 14 para makuha ang -16.

$$3x-25y=-16$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

I-subtract ang 2 mula sa -21 para makuha ang -23.

$$9x-23-4y=0$$

Idagdag ang 23 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$9x-4y=23$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 15, ang least common multiple ng 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -5 gamit ang 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

I-subtract ang 20 mula sa 6 para makuha ang -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Idagdag ang 14 sa parehong bahagi.

$$3x-25y=-30+14$$

Idagdag ang -30 at 14 para makuha ang -16.

$$3x-25y=-16$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Para gawing magkatumbas ang 9x at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 9.

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

Pasimplehin.

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

I-subtract ang 27x-225y=-144 mula sa 27x-12y=69 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

Idagdag ang 27x sa -27x. Naka-cancel out ang term na 27x at -27x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-12y+225y=69+144$$

Idagdag ang -12y sa 225y.

$$213y=69+144$$

Idagdag ang 69 sa 144.

$$213y=213$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 213.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 3x-25y=-16. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x-25=-16$$

Idagdag ang 25 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=1$$