Lutasin ang {l}{3x-1/2-4y-7/3=2}{3y-6/4-5-x/6=-1frac{5}{12}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Idagdag ang -3 at 14 para makuha ang 11.

$$9x+11-8y=12$$

I-subtract ang 11 mula sa magkabilang dulo.

$$9x-8y=12-11$$

I-subtract ang 11 mula sa 12 para makuha ang 1.

$$9x-8y=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

I-subtract ang 10 mula sa -18 para makuha ang -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

I-multiply ang 1 at 12 para makuha ang 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Idagdag ang 12 at 5 para makuha ang 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Idagdag ang 28 sa parehong bahagi.

$$9y+2x=-17+28$$

Idagdag ang -17 at 28 para makuha ang 11.

$$9y+2x=11$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$9x-8y=1$$

Idagdag ang 8y sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=8y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{9} times 8y+1.

$$x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}$$

I-substitute ang \frac{8y+1}{9} para sa x sa kabilang equation na 2x+9y=11.

$$2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11$$

I-multiply ang 2 times \frac{8y+1}{9}.

$$\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11$$

Idagdag ang \frac{16y}{9} sa 9y.

$$\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11$$

I-subtract ang \frac{2}{9} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{97}{9}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{8+1}{9}$$

Idagdag ang \frac{1}{9} sa \frac{8}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Idagdag ang -3 at 14 para makuha ang 11.

$$9x+11-8y=12$$

I-subtract ang 11 mula sa magkabilang dulo.

$$9x-8y=12-11$$

I-subtract ang 11 mula sa 12 para makuha ang 1.

$$9x-8y=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

I-subtract ang 10 mula sa -18 para makuha ang -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

I-multiply ang 1 at 12 para makuha ang 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Idagdag ang 12 at 5 para makuha ang 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Idagdag ang 28 sa parehong bahagi.

$$9y+2x=-17+28$$

Idagdag ang -17 at 28 para makuha ang 11.

$$9y+2x=11$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=1,y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Idagdag ang -3 at 14 para makuha ang 11.

$$9x+11-8y=12$$

I-subtract ang 11 mula sa magkabilang dulo.

$$9x-8y=12-11$$

I-subtract ang 11 mula sa 12 para makuha ang 1.

$$9x-8y=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 12, ang least common multiple ng 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

I-subtract ang 10 mula sa -18 para makuha ang -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

I-multiply ang 1 at 12 para makuha ang 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Idagdag ang 12 at 5 para makuha ang 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Idagdag ang 28 sa parehong bahagi.

$$9y+2x=-17+28$$

Idagdag ang -17 at 28 para makuha ang 11.

$$9y+2x=11$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Para gawing magkatumbas ang 9x at 2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 9.

$$2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11$$

Pasimplehin.

$$18x-16y=2,18x+81y=99$$

I-subtract ang 18x+81y=99 mula sa 18x-16y=2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$18x-18x-16y-81y=2-99$$

Idagdag ang 18x sa -18x. Naka-cancel out ang term na 18x at -18x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-16y-81y=2-99$$

Idagdag ang -16y sa -81y.

$$-97y=2-99$$

Idagdag ang 2 sa -99.

$$-97y=-97$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -97.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 2x+9y=11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$2x+9=11$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=1$$

Nalutas na ang system.

$$x=1,y=1$$