Lutasin ang {l}{3/2x+1/3y=1}{x/4-1/6y=-frac{3}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = 1 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { 1 } { 6 } y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1$$

I-subtract ang \frac{y}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{1}{3}y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{2}{3} times -\frac{y}{3}+1.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}$$

I-substitute ang -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3} para sa x sa kabilang equation na \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

I-multiply ang \frac{1}{4} times -\frac{2y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{1}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Idagdag ang -\frac{y}{18} sa -\frac{y}{6}.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}$$

I-subtract ang \frac{1}{6} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{2}{9}y=-\frac{5}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{2}{9}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{15}{2}$$

I-substitute ang \frac{15}{2} para sa y sa x=-\frac{2}{9}y+\frac{2}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{15}{2}+\frac{2}{3}$$

I-multiply ang -\frac{2}{9} times \frac{15}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa -\frac{5}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{4}-\frac{9}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{3x}{2} at \frac{x}{4}, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang \frac{1}{4} at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

Pasimplehin.

$$\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4}$$

I-subtract ang \frac{3}{8}x-\frac{1}{4}y=-\frac{9}{4} mula sa \frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{4} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

Idagdag ang \frac{3x}{8} sa -\frac{3x}{8}. Naka-cancel out ang term na \frac{3x}{8} at -\frac{3x}{8} ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{1}{12}y+\frac{1}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

Idagdag ang \frac{y}{12} sa \frac{y}{4}.

$$\frac{1}{3}y=\frac{1+9}{4}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa \frac{9}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$\frac{1}{3}y=\frac{5}{2}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=\frac{15}{2}$$

I-substitute ang \frac{15}{2} para sa y sa \frac{1}{4}x-\frac{1}{6}y=-\frac{3}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$\frac{1}{4}x-\frac{1}{6}\times \frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

I-multiply ang -\frac{1}{6} times \frac{15}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=\frac{15}{2}$$