Lutasin ang {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

I-subtract ang 4 mula sa -5 para makuha ang -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Idagdag ang 9 sa parehong bahagi.

$$2x+3y=-1+9$$

Idagdag ang -1 at 9 para makuha ang 8.

$$2x+3y=8$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=8$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

I-substitute ang -\frac{3y}{2}+4 para sa x sa kabilang equation na -x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

I-multiply ang -1 times -\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa y.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{2}y=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{18}{5}$$

I-substitute ang \frac{18}{5} para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times \frac{18}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

Idagdag ang 4 sa -\frac{27}{5}.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

I-subtract ang 4 mula sa -5 para makuha ang -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Idagdag ang 9 sa parehong bahagi.

$$2x+3y=-1+9$$

Idagdag ang -1 at 9 para makuha ang 8.

$$2x+3y=8$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

I-subtract ang 4 mula sa -5 para makuha ang -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Idagdag ang 9 sa parehong bahagi.

$$2x+3y=-1+9$$

Idagdag ang -1 at 9 para makuha ang 8.

$$2x+3y=8$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at -x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

Pasimplehin.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

I-subtract ang -2x+2y=10 mula sa -2x-3y=-8 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

Idagdag ang -2x sa 2x. Naka-cancel out ang term na -2x at 2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-3y-2y=-8-10$$

Idagdag ang -3y sa -2y.

$$-5y=-8-10$$

Idagdag ang -8 sa -10.

$$-5y=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -5.

$$y=\frac{18}{5}$$

I-substitute ang \frac{18}{5} para sa y sa -x+y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

I-subtract ang \frac{18}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=\frac{7}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$