Lutasin ang {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Pagsamahin ang 7y at 3y para makuha ang 10y.

$$2x+10y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Pagsamahin ang 2x at 2x para makuha ang 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi.

$$4x+5y=4+1$$

Idagdag ang 4 at 1 para makuha ang 5.

$$4x+5y=5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+10y=0$$

I-subtract ang 10y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-10y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -10y.

$$x=-5y$$

I-substitute ang -5y para sa x sa kabilang equation na 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

I-multiply ang 4 times -5y.

$$-20y+5y=5$$

Idagdag ang -20y sa 5y.

$$-15y=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$y=-\frac{1}{3}$$

I-substitute ang -\frac{1}{3} para sa y sa x=-5y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

I-multiply ang -5 times -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Pagsamahin ang 7y at 3y para makuha ang 10y.

$$2x+10y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Pagsamahin ang 2x at 2x para makuha ang 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi.

$$4x+5y=4+1$$

Idagdag ang 4 at 1 para makuha ang 5.

$$4x+5y=5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Pagsamahin ang 7y at 3y para makuha ang 10y.

$$2x+10y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Idagdag ang 2x sa parehong bahagi.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Pagsamahin ang 2x at 2x para makuha ang 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Idagdag ang 1 sa parehong bahagi.

$$4x+5y=4+1$$

Idagdag ang 4 at 1 para makuha ang 5.

$$4x+5y=5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 4x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 4 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

Pasimplehin.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

I-subtract ang 8x+10y=10 mula sa 8x+40y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

Idagdag ang 8x sa -8x. Naka-cancel out ang term na 8x at -8x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$40y-10y=-10$$

Idagdag ang 40y sa -10y.

$$30y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 30.

$$y=-\frac{1}{3}$$

I-substitute ang -\frac{1}{3} para sa y sa 4x+5y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

I-multiply ang 5 times -\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x=\frac{20}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$