Lutasin ang {l}{2/3x+1/2y=1}{3x+2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=1,3x+2y=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

I-subtract ang \frac{y}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}y+1\right)$$

I-multiply ang \frac{3}{2} times -\frac{y}{2}+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}$$

I-substitute ang -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2} para sa x sa kabilang equation na 3x+2y=5.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}\right)+2y=5$$

I-multiply ang 3 times -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{9}{2}+2y=5$$

Idagdag ang -\frac{9y}{4} sa 2y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{9}{2}=5$$

I-subtract ang \frac{9}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{1}{2}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{4} times -2.

$$x=\frac{3+3}{2}$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa \frac{3}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=1,3x+2y=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{\frac{2}{3}\times 2-\frac{1}{2}\times 3}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\times 2-\frac{1}{2}\times 3}\\-\frac{3}{\frac{2}{3}\times 2-\frac{1}{2}\times 3}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times 2-\frac{1}{2}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12&3\\18&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12+3\times 5\\18-4\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=3,y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=1,3x+2y=5$$

Para gawing magkatumbas ang \frac{2x}{3} at 3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang \frac{2}{3}.

$$3\times \frac{2}{3}x+3\times \frac{1}{2}y=3,\frac{2}{3}\times 3x+\frac{2}{3}\times 2y=\frac{2}{3}\times 5$$

Pasimplehin.

$$2x+\frac{3}{2}y=3,2x+\frac{4}{3}y=\frac{10}{3}$$

I-subtract ang 2x+\frac{4}{3}y=\frac{10}{3} mula sa 2x+\frac{3}{2}y=3 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x+\frac{3}{2}y-\frac{4}{3}y=3-\frac{10}{3}$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$\frac{3}{2}y-\frac{4}{3}y=3-\frac{10}{3}$$

Idagdag ang \frac{3y}{2} sa -\frac{4y}{3}.

$$\frac{1}{6}y=3-\frac{10}{3}$$

Idagdag ang 3 sa -\frac{10}{3}.

$$\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}$$

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$y=-2$$

I-substitute ang -2 para sa y sa 3x+2y=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+2\left(-2\right)=5$$

I-multiply ang 2 times -2.

$$3x-4=5$$

Idagdag ang 4 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=3$$

Nalutas na ang system.

$$x=3,y=-2$$