Lutasin ang {c}{y=2x+1}{y=-5x+15}

$$\left\{ \begin{array} { c } { y = 2 x + 1 } \\ { y = - 5 x + 15 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 5x sa parehong bahagi.

$$y+5x=15$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-2x=1$$

Idagdag ang 2x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2x+1$$

I-substitute ang 2x+1 para sa y sa kabilang equation na y+5x=15.

$$2x+1+5x=15$$

Idagdag ang 2x sa 5x.

$$7x+1=15$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa y=2x+1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=2\times 2+1$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$y=4+1$$

Idagdag ang 1 sa 4.

$$y=5$$

Nalutas na ang system.

$$y=5,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 5x sa parehong bahagi.

$$y+5x=15$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\15\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\times 15\\-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=5,x=2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=1$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 5x sa parehong bahagi.

$$y+5x=15$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-2x=1,y+5x=15$$

I-subtract ang y+5x=15 mula sa y-2x=1 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-2x-5x=1-15$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-2x-5x=1-15$$

Idagdag ang -2x sa -5x.

$$-7x=1-15$$

Idagdag ang 1 sa -15.

$$-7x=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -7.

$$x=2$$

I-substitute ang 2 para sa x sa y+5x=15. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+5\times 2=15$$

I-multiply ang 5 times 2.

$$y+10=15$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=5$$

Nalutas na ang system.

$$y=5,x=2$$