Lutasin ang {c}{x=2y}{5y=3x+1}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x = 2 y } \\ { 5 y = 3 x + 1 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$x-2y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$5y-3x=1$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x-2y=0$$

Idagdag ang 2y sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=2y$$

I-substitute ang 2y para sa x sa kabilang equation na -3x+5y=1.

$$-3\times 2y+5y=1$$

I-multiply ang -3 times 2y.

$$-6y+5y=1$$

Idagdag ang -6y sa 5y.

$$-y=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=2y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=2\left(-1\right)$$

I-multiply ang 2 times -1.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$x-2y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$5y-3x=1$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-2\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-2,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$x-2y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 3x mula sa magkabilang dulo.

$$5y-3x=1$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

Para gawing magkatumbas ang x at -3x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -3 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+5y=1$$

Pasimplehin.

$$-3x+6y=0,-3x+5y=1$$

I-subtract ang -3x+5y=1 mula sa -3x+6y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-3x+3x+6y-5y=-1$$

Idagdag ang -3x sa 3x. Naka-cancel out ang term na -3x at 3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$6y-5y=-1$$

Idagdag ang 6y sa -5y.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa -3x+5y=1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-3x+5\left(-1\right)=1$$

I-multiply ang 5 times -1.

$$-3x-5=1$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-2$$

Nalutas na ang system.

$$x=-2,y=-1$$