Lutasin ang {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

I-solve ang y, x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2y+5x=12$$

I-subtract ang 5x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2y=-5x+12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -5x+12.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

I-substitute ang -\frac{5x}{2}+6 para sa y sa kabilang equation na -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

I-multiply ang -6 times -\frac{5x}{2}+6.

$$15x-36-2x=-24$$

Idagdag ang 15x sa -2x.

$$13x-36=-24$$

Idagdag ang 36 sa magkabilang dulo ng equation.

$$13x=12$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 13.

$$x=\frac{12}{13}$$

I-substitute ang \frac{12}{13} para sa x sa y=-\frac{5}{2}x+6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

I-multiply ang -\frac{5}{2} times \frac{12}{13} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

Idagdag ang 6 sa -\frac{30}{13}.

$$y=\frac{48}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Para gawing magkatumbas ang 2y at -6y, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

Pasimplehin.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

I-subtract ang -12y-4x=-48 mula sa -12y-30x=-72 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

Idagdag ang -12y sa 12y. Naka-cancel out ang term na -12y at 12y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-30x+4x=-72+48$$

Idagdag ang -30x sa 4x.

$$-26x=-72+48$$

Idagdag ang -72 sa 48.

$$-26x=-24$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -26.

$$x=\frac{12}{13}$$

I-substitute ang \frac{12}{13} para sa x sa -6y-2x=-24. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

I-multiply ang -2 times \frac{12}{13}.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

Idagdag ang \frac{24}{13} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=\frac{48}{13}$$

Nalutas na ang system.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$