Lutasin ang {c}{2x+3y=5}{x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=5$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

I-substitute ang \frac{-3y+5}{2} para sa x sa kabilang equation na x+3y=6.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}+3y=6$$

Idagdag ang -\frac{3y}{2} sa 3y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=6$$

I-subtract ang \frac{5}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{3}{2}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{7}{3}$$

I-substitute ang \frac{7}{3} para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{5}{2}$$

I-multiply ang -\frac{3}{2} times \frac{7}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{-7+5}{2}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa -\frac{7}{2} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-1$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3}&-\frac{3}{2\times 3-3}\\-\frac{1}{2\times 3-3}&\frac{2}{2\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-6\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

I-subtract ang x+3y=6 mula sa 2x+3y=5 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-x+3y-3y=5-6$$

Idagdag ang 3y sa -3y. Naka-cancel out ang term na 3y at -3y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$2x-x=5-6$$

Idagdag ang 2x sa -x.

$$x=5-6$$

Idagdag ang 5 sa -6.

$$x=-1$$

I-substitute ang -1 para sa x sa x+3y=6. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$-1+3y=6$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y=7$$

Nalutas na ang system.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$