Lutasin ang {c}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-x+5y=1$$

I-subtract ang 5y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-x=-5y+1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -1.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

I-multiply ang -1 times -5y+1.

$$x=5y-1$$

I-substitute ang 5y-1 para sa x sa kabilang equation na -2x-5y=11.

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

I-multiply ang -2 times 5y-1.

$$-10y+2-5y=11$$

Idagdag ang -10y sa -5y.

$$-15y+2=11$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-15y=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

I-substitute ang -\frac{3}{5} para sa y sa x=5y-1. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

I-multiply ang 5 times -\frac{3}{5}.

$$x=-3-1$$

Idagdag ang -1 sa -3.

$$x=-4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Para gawing magkatumbas ang -x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

Pasimplehin.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

I-subtract ang 2x+5y=-11 mula sa 2x-10y=-2 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

Idagdag ang 2x sa -2x. Naka-cancel out ang term na 2x at -2x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-10y-5y=-2+11$$

Idagdag ang -10y sa -5y.

$$-15y=-2+11$$

Idagdag ang -2 sa 11.

$$-15y=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

I-substitute ang -\frac{3}{5} para sa y sa -2x-5y=11. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

I-multiply ang -5 times -\frac{3}{5}.

$$-2x+3=11$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-4$$

Nalutas na ang system.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$