Lutasin ang {c}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Pagsamahin ang 3y at -2y para makuha ang y.

$$-9x+y=2x$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$-9x+y-2x=0$$

Pagsamahin ang -9x at -2x para makuha ang -11x.

$$-11x+y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Pagsamahin ang -6x at -2x para makuha ang -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Idagdag ang 6y sa parehong bahagi.

$$-8x-3y+6y=0$$

Pagsamahin ang -3y at 6y para makuha ang 3y.

$$-8x+3y=0$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$-11x+y=0$$

I-subtract ang y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-11x=-y$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -11.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

I-multiply ang -\frac{1}{11} times -y.

$$x=\frac{1}{11}y$$

I-substitute ang \frac{y}{11} para sa x sa kabilang equation na -8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

I-multiply ang -8 times \frac{y}{11}.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

Idagdag ang -\frac{8y}{11} sa 3y.

$$\frac{25}{11}y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{25}{11}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa x=\frac{1}{11}y. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Pagsamahin ang 3y at -2y para makuha ang y.

$$-9x+y=2x$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$-9x+y-2x=0$$

Pagsamahin ang -9x at -2x para makuha ang -11x.

$$-11x+y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Pagsamahin ang -6x at -2x para makuha ang -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Idagdag ang 6y sa parehong bahagi.

$$-8x-3y+6y=0$$

Pagsamahin ang -3y at 6y para makuha ang 3y.

$$-8x+3y=0$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=0,y=0$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Pagsamahin ang 3y at -2y para makuha ang y.

$$-9x+y=2x$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$-9x+y-2x=0$$

Pagsamahin ang -9x at -2x para makuha ang -11x.

$$-11x+y=0$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -3 gamit ang 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Pagsamahin ang -6x at -2x para makuha ang -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Idagdag ang 6y sa parehong bahagi.

$$-8x-3y+6y=0$$

Pagsamahin ang -3y at 6y para makuha ang 3y.

$$-8x+3y=0$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Para gawing magkatumbas ang -11x at -8x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -8 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang -11.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

Pasimplehin.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

I-subtract ang 88x-33y=0 mula sa 88x-8y=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

Idagdag ang 88x sa -88x. Naka-cancel out ang term na 88x at -88x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-8y+33y=0$$

Idagdag ang -8y sa 33y.

$$25y=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$y=0$$

I-substitute ang 0 para sa y sa -8x+3y=0. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-8x=0$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -8.

$$x=0$$

Nalutas na ang system.

$$x=0,y=0$$