Lutasin ang ∫ (from 1 to 2) of (1+2y)^2 wrt y

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 + 2 y ) ^ { 2 } d y$$

I-evaluate

$$\frac{49}{3}\approx 16.333333333$$

Mga Hakbang ng Solution

Gamitin ang binomial theorem na \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para palawakin ang \left(1+2y\right)^{2}.

$$\int _{1}^{2}1+4y+4y^{2}\mathrm{d}y$$

Suriin muna ang indefinite na integral.

$$\int 1+4y+4y^{2}\mathrm{d}y$$

I-integrate ang sum sa bawat term.

$$\int 1\mathrm{d}y+\int 4y\mathrm{d}y+\int 4y^{2}\mathrm{d}y$$

I-factor out ang constant sa bawat mga term.

$$\int 1\mathrm{d}y+4\int y\mathrm{d}y+4\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Hanapin ang integral ng 1 gamit ang alituntunin ng talahanayan ng mga karaniwang integral \int a\mathrm{d}y=ay.

$$y+4\int y\mathrm{d}y+4\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Simula \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int y\mathrm{d}y ng \frac{y^{2}}{2}. I-multiply ang 4 times \frac{y^{2}}{2}.

$$y+2y^{2}+4\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Simula \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int y^{2}\mathrm{d}y ng \frac{y^{3}}{3}. I-multiply ang 4 times \frac{y^{3}}{3}.

$$y+2y^{2}+\frac{4y^{3}}{3}$$

Ang definite integral ay ang antiderivative ng expression na na-evaluate sa upper limit ng integration minus ang antiderivative na na-evaluate sa lower limit ng integration.

$$2+2\times 2^{2}+\frac{4}{3}\times 2^{3}-\left(1+2\times 1^{2}+\frac{4}{3}\times 1^{3}\right)$$

Pasimplehin.

$$\frac{49}{3}$$