Lutasin ang ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

I-evaluate

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0.671572875$$

Mga Hakbang ng Solution

Suriin muna ang indefinite na integral.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

I-integrate ang sum sa bawat term.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

I-factor out ang constant sa bawat mga term.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

I-rewrite ang \frac{1}{\sqrt{x}} bilang x^{-\frac{1}{2}}. Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x ng \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. I-simplify at i-convert mula exponential patungong radical na form.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x\mathrm{d}x ng \frac{x^{2}}{2}. I-multiply ang -1 times \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

Ang definite integral ay ang antiderivative ng expression na na-evaluate sa upper limit ng integration minus ang antiderivative na na-evaluate sa lower limit ng integration.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Pasimplehin.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$