Lutasin ang ∫ (from 0 to 2 pi) of operatorname{arctanh}(x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \operatorname { arctanh } ( x ) d x$$

I-evaluate

$$2\pi ^{2}\arctan(h)$$

Mga Hakbang ng Solution

Suriin muna ang indefinite na integral.

$$\int \arctan(h)x\mathrm{d}x$$

I-factour out ang constant gamit ang \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$\arctan(h)\int x\mathrm{d}x$$

Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x\mathrm{d}x ng \frac{x^{2}}{2}.

$$\arctan(h)\times \frac{x^{2}}{2}$$

Pasimplehin.

$$\frac{\arctan(h)x^{2}}{2}$$

Ang definite integral ay ang antiderivative ng expression na na-evaluate sa upper limit ng integration minus ang antiderivative na na-evaluate sa lower limit ng integration.

$$\frac{1}{2}\arctan(h)\times \left(2\pi \right)^{2}-\frac{1}{2}\arctan(h)\times 0^{2}$$

Pasimplehin.

$$2\arctan(h)\pi ^{2}$$

I-differentiate ang w.r.t. h

$$\frac{2\pi ^{2}}{h^{2}+1}$$