Lutasin ang ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

I-evaluate

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

Mga Hakbang ng Solution

Suriin muna ang indefinite na integral.

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

I-integrate ang sum sa bawat term.

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

I-factor out ang constant sa bawat mga term.

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Simula \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int r\mathrm{d}r ng \frac{r^{2}}{2}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Simula \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int r^{2}\mathrm{d}r ng \frac{r^{3}}{3}. I-multiply ang -1 times \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

Ang definite integral ay ang antiderivative ng expression na na-evaluate sa upper limit ng integration minus ang antiderivative na na-evaluate sa lower limit ng integration.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Pasimplehin.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

I-differentiate ang w.r.t. x

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$