Lutasin ang ∫ (from 0 to 1) of (1-4x)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 4 x ) ^ { 2 } d x$$

I-evaluate

$$\frac{7}{3}\approx 2.333333333$$

Mga Hakbang ng Solution

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(1-4x\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}1-8x+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Suriin muna ang indefinite na integral.

$$\int 1-8x+16x^{2}\mathrm{d}x$$

I-integrate ang sum sa bawat term.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -8x\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

I-factor out ang constant sa bawat mga term.

$$\int 1\mathrm{d}x-8\int x\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Hanapin ang integral ng 1 gamit ang alituntunin ng talahanayan ng mga karaniwang integral \int a\mathrm{d}x=ax.

$$x-8\int x\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x\mathrm{d}x ng \frac{x^{2}}{2}. I-multiply ang -8 times \frac{x^{2}}{2}.

$$x-4x^{2}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Simula \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int x^{2}\mathrm{d}x ng \frac{x^{3}}{3}. I-multiply ang 16 times \frac{x^{3}}{3}.

$$x-4x^{2}+\frac{16x^{3}}{3}$$

Ang definite integral ay ang antiderivative ng expression na na-evaluate sa upper limit ng integration minus ang antiderivative na na-evaluate sa lower limit ng integration.

$$1-4\times 1^{2}+\frac{16}{3}\times 1^{3}-\left(0-4\times 0^{2}+\frac{16}{3}\times 0^{3}\right)$$

Pasimplehin.

$$\frac{7}{3}$$